Глава № 11 Геометрические тела

Глава № 11

Геометрические тела

Геометрические Платоновы тела являются простыми, но важными трехмерными формами, имеющими математическую основу — красивыми и глубоко символичными. Греческий философ Платон обращался к геометрическим фигурам в своей работе «Тимей», приравнивая их к пяти элементам — Земле, Воздуху, Огню, Воде и Эфиру. Говоря метафорически, Платон называл эти геометрические фигуры «кирпичиками мироздания», связывая их структурную гармонию с формированием порядка из хаоса. Из-за упоминания в «Тимее» эти пять форм иногда называют Платоновыми телами, что является, вобщем-то, не верным. Платон, конечно, ничего не изобретал: их неолитические прототипы, вырезанные из камня, и предвосхищающие Платона как минимум на тысячу лет, были найдены в Британии [177].

Пять многогранников (греческое polus, «много» + hedra, «лицо»), которые составляют группу — тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр — уникальны по нескольким причинам. Каждый из них создается путем кратных объединений единственной двухмерной формы (треугольника, квадрата или пятиугольника) одинакового размера, так что все стороны фигур — все их грани — являются идентичными. Образно выражаясь — каждая фигура представляет собой что-то вроде трехмерного пазла, собранного из совершенно тождественных частей. Тетраэдр — самая простая из фигур. Его четыре грани — это минимум для геометрических тел: с меньшим количеством граней фигура скорее будет двухмерной — плоской — чем трехмерной, либо окажется открытой с одной стороны и, следовательно, не сможет считаться «телом». Существует мнение, что «открытые» формы способствуют проникновению вредоносных влияний — подобно открытой двери, или, в метафизических терминах, незамкнутому кругу — отсюда предпочтение плотным, «цельным» формам, замкнутым со всех сторон.

Художники часто обыгрывали в своих работах мотив многогранника. Альбрехт Дюрер поместил на свою гравюру «Меланхолия» (рис. 25) сложное геометрическое тело, чьи грани образованы, как минимум, Двумя различными двухмерными формами. Голландский художник М. К. Эшер (1898–1972) многократно использовал Платоновы тела. Среди прочего, на его гравюрах присутствуют додекаэдр (двенадцатигранник), переплетенные тетраэдры и кубы, звездообразные додекаэдры и Другие фигуры, исполненные в необычной манере. Коробка для конфет, предназначенная для шоколадницы, была выполнена Эшером в форме икосаэдра (двадцатигранника), с использованием океанских мотивов и изображала собой пятилучевую морскую звезду. Подобно Дюреру Эшер работал в технике гравюры и потому изначально создавал каждый рисунок в зеркальном отображении, что вызывало смену перспективы, в свою очередь влиявшее на восприятие.

В 2003 году команда ученых из Франции и Соединенных Штатов занимающаяся исследованиями космического пространства, выдвинула теорию (тотчас же опровергнутую другими учеными), суть которой сводилась к тому, что Вселенная не только конечна, но — что еще более странно — имеет форму додекаэдра [178]. Посмотрите на эту фигуру, попробуйте представить целую Вселенную, заключенную внутри нее. Теперь мысленно проиллюстрируйте другую часть их теории: противоположные грани додекаэдра соотносятся друг с другом таким образом, что космический корабль, пролетающий «сквозь» грань с одной стороны, одновременно входит через соответствующую грань с другой стороны. Помимо того, насколько это может быть полезным для космических путешествий, представьте, какие богатые возможности открываются тут для научной фантастики!

Геометрические тела представлены на рисунках 98а-102 г.

Тетраэдр

Греческое tetra, «четыре» + hedra, «грань».

Создается из 4 равносторонних треугольников = 4 грани. Общее количество ребер = 6.

Длина ребер = 42.

Вершины = 3 ребра сходятся в каждой вершине.

Общее число вершин = 4.

Символизм

Стихия: Огонь.

Время года: лето.

Символические атрибуты: сила воли, храбрость и страсть, самоопределение.

В человеческой физиологии: электрические импульсы в мозгу и сердце.

Чувство: зрение.

В природе: молния, звезды, вулканы, полдень.

Астрология: Овен, Лев и Стрелец, огненные знаки.

Рис. 98а. Тетраэдр, вид сверху

Рис. 986. Тетраэдр, повернутый на 3/4

Рис. 98 в. Тетраэдр, вид сбоку

Рис. 98 г. Тетраэдр в развертке

Куб

Греческое kubos, «шестисторонний куб».

Создается из 6 одинаковых квадратов = 6 граней. Общее количество ребер = 12.

Длина ребер = 1.

Вершины = 3 ребра сходятся в каждой вершине. Общее число вершин = 8.

Символизм

Стихия: Земля.

Время года: зима.

Символические атрибуты: стабильность, сила, демонстрация, физические действия.

Рис. 99а. Куб, вид сверху

Рис. 996. Куб, повернутый на 3/4

Греческое octa, «восемь» + hedra, «грань».

Создается из 8 равносторонних треугольников = 8 граней.

Общее количество ребер = 12.

Длина ребер = ??.

Вершины = 4 ребра сходятся в каждой вершине.

Общее число вершин = 6.

Символизм

Стихия: Воздух.

Время года: весна.

Символические атрибуты: рассудок, вдохновение, новые начинания, умственная активность.

Рис. 99 в. Куб, вид сбоку

Рис. 99 г. Куб в развертке

В человеческой физиологии: тело, плоть и кости.

Чувство: осязание.

В природе: непосредственно земля; почва, скалы и растения, глубокая ночь.

Астрология: Козерог, Телец и Дева, земные знаки.

Октаэдр

Рис. 100а. Октаэдр, вид сверху

Рис. 100б. Октаэдр, повернутый на угол в 3/4

Рис. 100 в. Октаэдр, вид сбоку

Рис. 100 г. Октаэдр в развертке

В человеческой физиологии: дыхание.

Чувство: обоняние.

В природе: ветер, облака, высокие пики и ветреные равнины, закат. Астрология: Весы, Водолей и Близнецы, воздушные знаки.

Икосаэдр

Греческое eikosi, «двадцать» + hedra, «грань».

Создается из 20 равносторонних треугольников = 20 грани. Общее количество ребер = 30.

Длина ребер = Ф.

Вершины = 5 ребер сходятся в каждой вершине.

Общее число вершин = 12.

Рис. 101а. Икосаэдр, вид сверху

Рис. 101б. Икосаэдр, повернутый на угол в 3/4

Рис. 101 в. Икосаэдр, вид сбоку

Рис. 101 г. Икосаэдр в развертке

Символизм

Стихия: Вода.

Время года: осень.

Символические атрибуты: эмоции, сны, интуиция.

В человеческой физиологии: кровь, слезы, все телесные жидкости. Чувство: вкус.

В природе: океаны, потоки, дождь, все воды, вечер.

Астрология: Рак, Скорпион и Рыбы, водяные знаки.

Додекаэдр

Греческое dodeka, «двенадцать» + hedra, «грань». Создается из 12 пятиугольников = 12 граней.

Общее количество ребер = 30.

Длина ребер = 1/Ф.

Вершины = 3 ребра сходятся в каждой вершине. Общее число вершин = 20.

Символизм

Стихия: Дух/Эфир.

Символические атрибуты: Божественное соединение, имманентность.

Рис. 102а. Додекаэдр, вид сверху

Рис. 102б. Додекаэдр, повернутый на угол в 3/4

Рис. 102 в. Додекаэдр, вид сбоку

Рис. 102 г. Додекаэдр в развертке

В человеческой психологии: дух, душа. Чувство: слух.

В природе: космос, небеса. Астрология: весь зодиак.

Что можно делать с геометрическими фигурами

Чертить геометрические фигуры на бумаге интересно, но по-настоящему они оживают только в трехмерном исполнении. В таком виде они демонстрируют свою красоту и совершенство. Вот несколько практических советов для изготовления многогранников.

1. Соломинки для напитков и веревочка (плюс терпение) могут стать материалом для создания некоторых фигур. Какую бы фигуру вы ни собирали, все соломинки должны быть одинаковой длины. Кусок проволоки послужит иглой или крюком и облегчит процесс продевания нити. Преимущество полой фигуры состоит в том, что вы имеете возможность увидеть все ее линии. Кроме того, они получаются легкими. Повесьте несколько из них на потолок для получения вящего удовольствия. Хитрость в том, что некоторые фигуры — такие как тетраэдр — «жесткие» и будут держать форму, тогда как другие — такие как куб — могут сложиться подобно карточному домику. Вперед! Веселого времяпрепровождения! Хотите еще испытаний? Попробуйте создать миниатюрные варианты с использованием стекляруса.

2. Найдите набор. Несколько лет назад мне подарили комплект фигур, вырезанных из кварца, каждая высотой чуть больше одного дюйма. Они выглядят весьма элегантно, а прозрачность фигурок позволяет рассматривать их под разными углами, для изучения формы. Эти уж точно не сложатся. Если загорелись идеей, то поищите их в эзотерических и ювелирных магазинах.

3. Найдите набор «сделай сам». Магазины при музеях, магазины, торгующие дарами природы и другие места, в которых имеются игрушки развивающего типа, как правило, занимаются реализацией наборов для создания геометрических фигур. Вы также можете поискать в Интернете на сайте www.polygon.com