Глава № 9 Фибоначчи, золотое сечение и пентакль

Глава № 9

Фибоначчи, золотое сечение и пентакль

Последовательность Фибоначчи — не просто случайная числовая схема, придуманная этим итальянским математиком. Она является плодом осмысления пространственных отношений, имеющих место в природе и впоследствии получившими название золотое сечение.

На Западе числовая последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи (ок. 1170-ок. 1240 года н. э.). Происходивший из северной Африки, где его отец заведовал таможней — подсчет был их семейным делом — молодой Фибоначчи в дальнейшем обучался у арабских математиков, затем много путешествовал, всегда обращая внимание на способы записи чисел. Его работа «Liber abaci» («Книга абака», 1202 год н. э., на латыни) ознакомила европейцев с арабскими и индийскими математическими концепциями, включая десятичную систему и индо-арабские формы, которые мы теперь используем для записи чисел [163]. Наряду с латинским переводом «Арифметики» аль-Хорезми, работа Фибоначчи способствовала формированию европейской математической мысли.

В последовательности Фибоначчи каждое новое число является суммой двух предыдущих. Итак, начнем считать с 0, то есть 0+1. Сложив их вместе, вы вновь получите 1, так что корректное начало последовательности будет выглядеть следующим образом: 0, 1, 1.

Новое число — 1 — плюсуется с предыдущим числом — 1 — ив последовательность добавляется число 2: 0, 1, 1, 2.

Сложение финального числа — 2 — с предшествующим — 1 — Дает число 3.

Таким же образом, каждое последнее число добавляется к предыдущему:

0, 1, 1, 2, 3 = 5

0, 1, 1, 2, 3, 5 = 8

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 = 13

Продолжая действовать в том же ключе, вы получите искомую последовательность Фибоначчи: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584 и так до бесконечности.

Рис. 75. График Фибоначчи 1,618 Магическое число 1,618… Последовательность Фибоначчи демонстрирует, что при делении каждого числа на предыдущее 1,618… получается вновь и вновь.

Рис. 76. График Фибоначчи 0,618 Магическое число 0,618… Последовательность Фибоначчи демонстрирует, что при делении каждого числа на последующее 0,618… получается вновь и вновь

Рис. 77. Счет Фибоначчи

Деление любого числа из последовательности Фибоначчи на непосредственно предшествующее ему дает значение 1,618… (В математическом контексте отточие служит указанием того, что перед нами иррациональное число, то есть имеющее бесконечную десятичную дробь (рис. 75)).

Аналогично, любое число Фибоначчи, разделенное на стоящее непосредственно перед ним, дает примерно 0,618… (рис. 76).

Точность приближения к 0,618… или 1,618… растет по мере возрастания значений используемых чисел. Эти два ключевых числа — 0,618… и 1,618… — являются пропорциональным соотношением между частями золотого сечения — меньшего к большему и наоборот [164].

Те, у кого в школе было много математики, могут пока передохнуть. Остальным же, для кого знак фи, несомненно, является чем-то греческим, и не более того, объясняю — фи (phi), то есть Ф, используется как одно из обозначений соотношений Фибоначчи/золотого сечения. Раньше мы делили, теперь — будем умножать. Возрастающая последовательность (вправо от единицы, рис. 77) — 1, Ф, Ф², Ф³ означает, что.

Греческое обозначение тау

Крест тау

Поперечина тау соответствует короткой «3» стороне (катету) треугольника Пифагора и является «1» в золотом сечении

Вертикальная часть тау соответствует длинной «5» стороне (гипотенузе) треугольника Пифагора, играя роль Ф в золотом сечении. Таким образом, соотношение вертикаль-поперечина = = 1,618 (1 х 1,618)

1 — есть начальная точка последовательности Фибоначчи;

стоящая справа Ф — является первым выражением соотношения, то есть, 1 х 1,618..;

ф² — второе выражение, Ф х 1,618… и т. д.

Сопутствующее символу Ф число указывает на количество сделанных шагов в ряду Фибоначчи, что выражает соотношение между частями лучше, чем конкретные измерения в дюймах или сантиметрах. (При умножении, не включайте отточие.) Соответственно, при обратном счете (влево от единицы, рис. 77) символы обозначаются в виде долей. К примеру, 1/Ф означает 1 х 0,618…

Только решите, что берете за «1», а затем считаете: если в обратном направлении, то с приращением 0,618…, если в прямом — то с 1,618…

Использовать греческую букву фи или Ф в данном контексте предложил в начале XX века американский математик Майкл Барр.

Сделано это было в честь Фидия (ок. 490–430 г. до н. э.), античного скульптора, который, по общему мнению, основывался в своих работах на принципах золотого сечения.

До предложения Барра золотое сечение обозначалось греческой буквой Т или may (tau), входящей в состав греческого слова томи (to-mi), означающего «кусок» или «часть» [165].

С точки зрения графического выражения золотого сечения, т имеет больше смысла, а будучи прописной — Т — приблизительно соответствует фактическим измерениям.

Крест may имеет Т-образную форму и используется в некоторых колодах Таро.

Например, в IV карте Старших Арканов, Император, он в соединении с окружностью образует скипетр. Неважно, шар это, сфера или простой круг, комбинация круглой формы с крестом may еще проявит себя и преподнесет нам кое-какие сюрпризы (рис. 78).

Если вы еще не наигрались с соотношениями Фибоначчи, то возьмите лист бумаги в клеточку и нарисуйте на нем квадраты, площадь которых будет выражать последовательность Фибоначчи, то есть 1, 1, 2, 3, 5 и т. д. У вас получатся два квадрата 1 на 1, квадраты 2 на 2, 3 на 3 и т. д. (рис. 79). Если вы проведете диагонали через эти квадраты, то обнаружите, что они пересекают стартовый квадрат, иногда называемый «глазом» и отмеченный здесь серым цветом (рис. 80).

Все это также работает, если последовательность чисел Фибоначчи выразить в виде прямоугольников. Их стороны соответствуют значениям смежных чисел последовательности Фибоначчи — 1 на 1,1 на 2,2 на 3, 3 на 5 и т. д. Вновь каждый новый прямоугольник будет располагаться точно вдоль сторон предыдущего, и хотя стартовый квадрат на этот раз находится в другом месте, прочерченные вами диагонали опять пересекут его (рис. 82).

Рис. 79. Построение все увеличивающихся квадратов, согласно числам последовательности Фибоначчи

Рис. 80. Диагональ, проведенная через квадраты, пересекающая первый квадрат, «глаз»

Рис. 81. Здесь смежные числа Фибоначчи создают прямоугольники, которые аккуратно гнездятся рядом друг с другом

Но и это еще не все. Теперь, по-прежнему используя клетчатую бумагу, нарисуйте спираль, каждый виток которой основывается на числах из последовательности Фибоначчи (рис. 83). Эта спираль Фибоначчи, быстро раскручиваясь из стартовой точки и словно бы «вставая на дыбы», отражает параметры золотого сечения, по мере ее бурного, резкого, расширения.

Для контраста нарисуйте другую спираль, раскручивающуюся за шаг всего лишь на один ряд квадратиков. Это будет архимедова спираль (рис. 84).

Вещи, создаваемые людьми, изготавливаются, согласно принципам построения архимедовой спирали: шаг за шагом, виток за витком, слой за слоем, винтик за винтиком — когда каждое последующее действие базируется на уже произведенной операции. Так прядут ткань, лепят горшки, строят дома или собирают машины. Гравитация и материя — вот определяющие факторы для нас. Мы имеем дело со статичными материалам и прослойками, которым требуется опора друг на друга.

Рис. 82. Диагонали, проведенные в прямоугольнике, вновь пересекают стартовый квадрат, «глаз» этой схемы

Рис. 83. Спираль, расширяющаяся в последовательности Фибоначчи

Рис. 84. Архимедова спираль, расширяющаяся упорядоченно

Рис. 85. Параметры сжатой ладони демонстрируют модель расширяющейся спирали Фибоначчи

Мать-природа, однако, творит из живых материалов и не терпит принуждения. Она работает естественно и изящно, используя алгоритм спирали Фибоначчи во всех сферах своей деятельности. Данная спираль соответствует кривой роста еще формирующихся человеческих и животных зародышей, ее форма совпадает с изгибом главной сердечной мышцы [166]. Ее очертание повторяются в морских раковинах, вроде той, которую танцующий бог Шива использует в качестве трубы для призыва к дальнейшему созиданию. Количество лепестков цветов семейства астровых всегда равно числу Фибоначчи, и соотношение количества пчел мужского и женского пола в улье также основывается на пропорции Фибоначчи [167]. Структура семян в огромном подсолнухе следует двум различным логарифмическим спиралям золотого сечения, равно как и строение сосновых шишек и ананасов. Характер расположения новых листьев, по мере роста растения, также находится в прямой зависимости от Фибоначчи [168]. Параметры золотого сечения специально внедрялись (и продолжают внедряться) в зодчество, в особенности, сакральное, служа основой всего: от размера кирпичей до архитектурных пропорций. Когда мы сжимаем ладонь, то тем самым воссоздаем внешний вид спирали Фибоначчи (рис. 85). Это всего лишь несколько примеров.

Человеческое воплощение Фибоначчи

Вы можете использовать числа Фибоначчи для создания прямоугольника с приятными глазу пропорциями, например, коврика размером 5 на 8 футов. Космически важным является то, что человеческая фигура тоже отражает пропорции золотого сечения.

Рис. 86. Соотношение пальца к кисти, так наши тела воплощают в себе пропорции Фибоначчи

Рис. 87. Те же пропорции Фибоначчи, в случае обратного отсчета, от «1»

Все начинается с малого: от кончика пальца к ладони каждая фаланга пальца увеличивается примерно на 1,618 % (рис. 86). При измерении в противоположном направлении следует обратный отсчет (рис. 87).

Продолжим рассмотрение параметров человеческого тела. Так, величина, соответствующая расстоянию от кончика пальца до запястья, взятая 1,618 раза, будет примерно равна длине руки от запястья до локтя. А расстояние от запястья до локтя, взятое 1,618 раза, даст величину, близкую к вашему личному кубиту, с которым мы сталкивались в главе № 3, то есть, расстоянию от локтя до кончика пальца.

Обратившись к своему телу, замерьте длину отрезка от пола (между стоп, без обуви) до пупка и умножьте это число на 1,618. Результат будет весьма схож с расстоянием от кончика до кончика указательных пальцев при распростертых руках, то есть с вашей личной саженью.

Пропорция, лежащая в основе всех этих вещей, известна под разными именами — золотое сечение, золотая середина, золотая пропорция, aureo section (золотое сечение на латыни), сакральное деление, золотое деление, Божественная пропорция. Название немецкого термина — Goldene Schnitt, созвучно золотому снитчу из книг о Гарри Поттере [169].

Создание пентакля шаг за шагом

Спираль Фибоначчи также может возникнуть из заключенных друг в Друга треугольников (рис. 88). Не важно, под именем тау или фи, золотое сечение является костяком пентакля, повторяясь в различных соотношениях и проявляя свое присутствие на каждом шагу (рис. 89).

Рис. 88. Спираль Фибоначчи, возникающая в треугольнике на основе may

Рис. 89. Пропорции золотого сечения/Фибоначчи, постоянно возникающие в пентакле

Есть простой способ создать пентакль, используя треугольник, изображенный на рисунке 71 в главе № 8. Итак, для его создания потребуется расположить «спиной к спине» десять упомянутых треугольников (рис. 90). Мы можем это сделать, поскольку короткая сторона каждого такого треугольника равна короткой стороне тау («1» в золотом сечении), а длинная — соответствует длинной стороне тау (или фи, Ф, в золотом сечении), как показано на рисунке 78. Кроме того, длины сторон этого треугольника равны 3 и 5 — числам Фибоначчи. Теперь соедините линией каждую пару противоположных углов в пятиугольнике и получите искомую фигуру (рис. 91).

Но, скажем, мы хотим пентакль побольше. Легко, поскольку пятиугольник способен на такие штуки, о чем треугольник или квадрат — двухмерные формы с небольшим количеством сторон — могут только мечтать.

Рис. 90. Построение пятиугольника из десяти треугольников Пифагора

Рис. 97. Добавление линий для создания других треугольников Пифагора внутри пятиугольника

Если продлить линии сторон квадрата или треугольника, то получатся просто линии, устремленные в пространство, которые нигде и никогда не встретятся друг с другом. Но в случае с пятиугольником, линии, продолжающие его стороны, пересекутся и создадут новую форму. Вот так и возникнет наш пентакль (рис. 92). Соединение углов этой новой звезды прямыми линиями образует новый пятиугольник. Окружите концы звезды кругом, и вы получите настоящий магический знак, олицетворяющий всю скрытую в нем гармонию формы и взаимосвязи; сочетание круга и креста тоу образует скипетр Императора, символизирующий объединение и преобразование.

Примерно в 2400 году до н. э. вавилоняне определили круг как величину в 360°, основываясь на грубом подсчете количества дней в году. Триста шестьдесят является необычайно полезным и многосторонним числом, о чем знали вавилоняне — специалисты по наблюдению за небом. Математический потенциал его широк, поскольку 360 может быть разделено без остатка на любое из следующих двадцати двух чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 и 180 [170]. (Хм… двадцать два… это количество карт Старших Арканов в колоде Таро).

Разделение круга на градусы позволяет нам отмечать долготу и широту и астрологически очерчивать пространство. В комбинации с нашим пентаклем круг также обладает любопытным набором математических особенностей. Разделите 360 градусов круга на 5 (пять концов пентакля) и вы получите пять сегментов по 72° каждый (рис. 93). Зафиксированные на окружности, эти точки соответствуют углам в 0°, 72°, 144°, 216°, 288° и вновь 0°, составляя, таким образом, 360°. Упростим эти числа, как мы уже делали в этой книге. Вы увидите, что все они сведутся к 9.

Если мы слегка повернем нашу звезду, как бы для создания десятиконечной — путем наложения другой 5-конечной звезды поверх первой — концы новой звезды будут располагаться в точках 36°, 108°, 180°, 252° и 324°. И вновь, каждое из этих чисел упрощается до 9.

Рис. 92. Продлив линии сторон любого простого пятиугольника, вы создадите пентакль

Рис. 93. Внутри 360° круга градусное значение всех точек, на которые попадают вершины пентакля, упрощается до 9. Начните с другого начального градусного значения, и вы получите другой результат

Конечно, мы будем совершенно неправы, если скажем, что это единственные числа в пределах 360°, которые упрощаются до 9. Напротив, таких чисел много. Возьмите любое, например, само число 9. Концы звезды отстоят друг от друга на 72°, поэтому добавив 72° к новой стартовой точке — 9, 81, 153, 225 и 275 — вы получите другой пентакль или пятиугольник, градусные значения всех вершин которого упрощаются до 9.

Но любые ли пять точек, отстоящие друг от друга на 72°, всегда дают пентакль с подобными свойствами? Вот и нет! В случае избрания другого стартового градуса каждый угол в этом пентакле будет упрощаться до его значения:

1°, 73°, 145°, 217° и 289° все упрощаются до 1 (часто через 10 или 19);

13°, 85°, 157°, 229° и 301 ° (все упрощаются до 4 (через 13)).

Это верно даже в случае с дробями: просто обращайтесь с ними, в процессе упрощения, как с отдельными разрядами, не обращая внимания на разделительную запятую:

7,143°, 79,143°, 151,143°, 223,143° и 295,143° — все они упрощаются до 6 (через 15 или 24). Любопытно, не правда ли? Вы можете использовать эти свойства для персонификации пентакля, встроив в него значимое для вас число — например, дату вашего рождения, выраженную в градусах и дробях — а затем двигаться по кругу с шагом в 72. Сочетание круга и пентакля является магическим.

От растений к планетам

В 1620 году старая немка Катарина была обвинена в колдовстве. Как и другие арестованные, она была травницей, знавшей целительные и магические свойства растений. И, также как и в других случаях, сплетни и личная зависть спровоцировали ее арест.

Но, в отличие от многих — арестованных и затем замученных, — обвинения, выдвинутые против Катарины, были, в конце концов, сняты. Влиятельный сын помог ей обрести свободу.

Этим сыном был Иоганн Кеплер (1571–1630), немецкий астроном, профессор математики и придворный математик Рудольфа II. Прочная слава Кеплера основывалась на трех выведенных им законах, касающихся движения планет, также известных как «законы Кеплера». Эти положения изменили представления человечества о строении Вселенной, не утратив своей значимости и по сей день.

Кеплер исповедовал христианство, что в те времена, быть может, являлось единственной охранной грамотой для занятий астрономией. Но ученого также интересовала метафизика. В своих книгах он много рассуждал о значении числа 5, цветах, пятиугольниках и золотом сечении. Он верил, что божественная пропорция — представленная в цветках фруктовых деревьев и в пятиугольниках, — была символом проявления божественной созидательной искры [171].

Мать Кеплера, будучи травницей, точно знала, что многие съедобные фрукты являются плодами деревьев, имеющих пятилепестковые цветки. Очевидно, что воззрения Катарины, касавшиеся мира растений, были близки ее сыну, мистику-математику, как видно из его трудов. Изучал ли он эту область самостоятельно или прибегал к помощи матери? Помогли ли знания о растениях его прорывам в науке? Я предпочитаю думать, что они послужили для него трамплином.

Подобно двум поколениям Кеплеров, большая часть наших собственных познаний опирается как на древние практические знания, так и на современную науку. Естественный пентакль можно увидеть, разрезав яблоко, но ведь существует и пентакль, созданный математически. Противоречиво? Кто сказал? Мы способны к одновременному восприятию огромного многообразия моделей понимания и различных путей познания.

Далее мы познакомимся с астрономической версией происхождения магической формы пентакля.