Платоновы тела и золотая пропорция

Платоновы тела и золотая пропорция

Среди Платоновых тел существует два, которые занимают особое место – это додекаэдр и икосаэдр, двойственный ему. Их геометрия непосредственно связана с пропорцией золотого сечения.

Грани додекаэдра – пентагоны, правильные пятиугольники, построение которых основано на золотой пропорции. Что касается икосаэдра, то в каждой его вершине сходится пять правильных треугольников, внешние стороны которых образуют также правильный пятиугольник.

Два этих правильных многоугольника имеют три сферы. Первая, внешняя, описывается вокруг тела и проходит через его вершины. Вторая, средняя, проходит внутри фигуры и касается его ребер. Третья, внутренняя сфера, вписана в тело и касается его граней. Можно обозначить радиусы этих трех сфер как R₃, R₂ и R₁. Если взять икосаэдр и додекаэдр с длиной ребра, равной двум, то можно увидеть, что радиусы указанных сфер выражаются через константу золотого сечения ?.

Константа в данном случае:

Кроме этого, существует еще множество соотношений между правильными многогранниками и пропорцией золотого сечения. Особенное значение правильным многогранникам придавал Платон, сделавший их основой своей «додекаэдро-иксоаэдрической теории», доктриной об устройстве мироздания.

В концепции Платона четыре многогранника символизировали четыре стихии мироздания. Тетраэдр олицетворял Огонь, так как вершина фигуры была устремлена вверх. Икосаэдр был символом воды, потому что имел самую обтекаемую форму. Октаэдр – самая «воздушная» фигура, символизировал «воздух», а гексаэдр, или куб, означал Землю на правах самой устойчивой фигуры. Венчал четыре стихии – додекаэдр, воплощение всего сущего, символ вселенского разума.

Эти элементы долгое время оставались основой мироздания в концепциях многих ученых, инженеров и астрологов.