Геометрия Римана

Бернхард Риман родился в 1826 году, как раз в тот год, когда Лобачевский в Казани обнародовал свою геометрию. Кстати, Ньютон родился в год смерти Галилея. А Эйнштейн – в год смерти Максвелла.

Риман, который, как оказалось, не был знаком с трудами Лобачевского, создал огромный, неизвестный ранее человечеству мир математических пространств, или, по его терминологии, многократно протяженных многообразий, и каждое из них должно было обладать своей собственной геометрией.

Потребовалось установить строение каждого пространства, то есть найти геометрию, ему присущую, научиться строить в нем фигуры и измерять их, иными словами, требовалось установить метрику. Риман предложил общий универсальный принцип: метрические отношения следует искать и фиксировать в бесконечно малой области пространства. Проще говоря, пространство надо мерить бесконечно малыми шагами. Именно в бесконечно малой области действуют более простые законы и более явственно обнажается суть явления и его особенности, характерные для данного момента времени и данной точки пространства [4].

Риман был убежден, что для всех явлений природы, в том числе и для тяготения, взаимодействие на больших расстояниях должно быть следствием микровзаимодействий, то есть процессов, протекающих в соседних бесконечно малых элементах пространства.

Точно суть работы Римана выразил советский геометр Каган, сказав: «Риман расщепил пространство на бесконечно малые элементы и показал, как из упрощенной метрики элемента разворачивается метрика всего пространства».

Выиграв в широте охвата, в общности подхода, Риман проиграл в содержании – им даны основные идеи, но детальной их проработки нет. У Лобачевского было наоборот. Он оставил нам глубокую и детальную проработку своей геометрии.

Позднее Риман решил «спуститься» к некоторым конкретным геометриям – наиболее простым, хотя на примере Лобачевского мы знаем, что простота может быть весьма относительной. Из всего этого многообразия Риман выделил простейшие многообразия – с постоянной кривизной.

Самый простой случай – когда кривизна всюду равна нулю. В одном измерении – это прямая линия, в двух – плоскость, в трех – евклидово пространство. Но кривизна может быть отличной от нуля, хотя и постоянна.

Раз кривизна постоянна, она, естественно, может быть нулевой, постоянно отрицательной и постоянно положительной.

В первом случае речь идет о пространстве Евклида, во втором – о пространстве Лобачевского, а в третьем случае при одинаково положительной кривизне – о пространстве Римана.

Причем третья постоянная положительная кривизна – это полная собственность Римана. Поэтому геометрия пространства с такой кривизной называется геометрией Римана.

В известном смысле мы достаточно часто сталкиваемся с постоянной положительной кривизной, правда, с кривизной поверхности, а не пространства. Любые шары есть поверхности постоянной положительной кривизны. Тем не менее, нам трудно вообразить себе сферическое пространство. Мир Евклида, трехмерное пространство нулевой кривизны, входит в нас при рождении.

Чтобы познакомиться с пространством Римана (с пространством постоянно положительной кривизны), возьмем в руки глобус, но отвлечемся от физической географии планеты, оставив только сетку меридианов и параллелей. Сфера – это пространство с постоянной положительной кривизной. Что представляет собой прямая линия на сфере? Если понимать прямую линию как линию нулевой кривизны, то на сфере прямых нет; любая изогнута, любая имеет кривизну. Но если прямая – это кратчайшее расстояние между двумя точками, то дело обстоит иначе. На сфере прямая – это часть дуги.

Следовательно, все меридианы – это прямые на сфере. И экватор тоже. Параллели определению прямых не отвечают, ибо длина их дуг больше кратчайшего расстояния между двумя точками, то есть между концами этих же дуг.

Сферическое пространство, или пространство постоянной положительной кривизны, замкнуто и конечно (от слова «конец»), также как замкнут и конечен шар. Таким же свойством обладает и другое пространство положительной кривизны – эллиптическое. (Как окружность есть частный и предельный случай эллипса, так и шар есть частный и предельный случай эллипсоида. Поэтому эллиптическая поверхность, а равно и эллиптическое пространство, есть обобщение сферических поверхности и пространства.)

Замкнутость и конечность пространства Римана нанесли удар по укоренившимся представлениям о бесконечности пространства.

Риман понял, что слова «безграничность» и «бесконечность» имеют разный смысл. Безграничность – значит без границ! А бесконечность – это то, что простирается без конца. Это расстояние, которое хотя и измеряемо, но в принципе не может быть измерено до конца, потому что конца просто нет.

Он утверждал: «При рассмотрении пространственных построений в направлении неизмеримо большого, следует различать свойства ограниченности и бесконечности – первое из них есть свойство протяженности, второе – метрическое свойство»[4].

Чрезвычайно важен физический смысл, но еще более важен философский смысл этого открытия. Ведь философы были убеждены, что бесконечность и безграничность – синонимы.

Риман говорил: «То, что пространство есть неограниченное трижды протяженное многообразие[3], является допущением, принимаемым в любой концепции внешнего мира. Но отсюда никоим образом не следует бесконечность пространства: напротив, если припишем пространству постоянную меру кривизны, то придется допустить конечность пространства, как бы мала ни была мера кривизны, лишь бы она была положительной» [4].

Именно безграничное, но конечное пространство положит А. Эйнштейн в основу своей теории относительности.

А как обстоят дела с параллельными прямыми в пространстве Римана? Оказывается, параллельных в геометрии Римана нет. Ибо меридианы, которые являются прямыми, обязательно пересекаются, и даже в двух точках.

Таким образом, в плоскости Евклида всегда есть одна прямая, параллельная исходной, в плоскости Лобачевского – две, а в плоскости Римана их нет вообще. Интересна также ситуация с углами. Если у Лобачевского сумма углов треугольника меньше суммы двух прямых, у Евклида – равна сумме двух прямых, то у Римана – больше суммы двух прямых. По этим показателям геометрия Евклида оказалась промежуточной между геометрией Лобачевского и Римана.

Отметим, что геометрия Римана называется еще «эллиптической», геометрия Лобачевского – гиперболической, а геометрию Эвклида называют плоской.

Работу по развитию неевклидовой геометрии продолжил целый ряд ученых, подхвативших идеи Лобачевского и Римана.

Очень урожайным оказался 1868 год. В печати одна за другой стали появляться статьи о неевклидовой геометрии. Это были работы итальянского математика Э. Бельтрама, поразительные статьи Гельмгольца, и, наконец, была опубликована переписка великого Гаусса с друзьями, поскольку обет молчания после его смерти закончился. Из переписки следовало, что Гаусс и сам упорно занимался неевклидовой геометрией, высоко оценивал работы Лобачевского, но при жизни промолчал и не поддержал открыто русского ученого, подвергавшегося осмеянию и гонениям.

С 1868 года началось массовое признание новых идей неевклидовой геометрии. Отныне она становится одной из магистральных дорог в математике. Продолжили работу блестящий ученый конца XIX века профессор Геттингенского университета Давид Гильберт, замечательный российский математик Александр Фридман, блестящий английский математик Уильям Клиффорд и т. д.

Таким образом, к концу XIX века неевклидова геометрия буквально выбила из-под классической физики одну из трех опор, на которых та базировалась. И при этом было совершенно неясно, что делать дальше с эфиром, как переносчиком взаимодействий.

Неясна была и ситуация с принципом относительности Галилея, который был справедлив для механических явлений. Во всех инерциальных системах (то есть движущихся прямолинейно и равномерно по отношению друг к другу) применимы одни и те же законы механики. Но справедлив ли этот принцип для немеханических явлений, особенно для тех, которые связаны с электромагнитными явлениями?

Ответы на эти вопросы связаны с изучением взаимосвязи движущихся тел с эфиром, но не как с механической средой, а как со средой-носителем электромагнитных колебаний. Требовалось ответить на вопросы: как взаимодействуют весомые тела и эфир (полагали, что эфир проникает в тела); отличается ли эфир внутри тела от находящегося вовне; как ведет себя эфир внутри тел при их движении и т. д. А доказательств существования эфира по-прежнему не было. Как можно определить свойства неизвестно чего?